Mul'tiplikativnyj integral. Prilozheniya v differencial'noj geometrii

Kak izvestno, rimanov integral jeto predel integral'noj summy. V opredelenii mul'tiplikativnogo integrala rech' idet o predele proizvedeniya bol'shogo chisla somnozhitelej, blizkih k edinice - algebraicheskoj operacii, voobshhe govorya, ne kommutativnoj. Teoriju mul'tiplikativnogo integrala estestvenno rassmatrivat', kak bolee obshhuju, chem teoriya rimanova integrala. Ee specifika proistekaet imenno iz nekommutativnosti umnozheniya. Ponyatie mul'tiplikativnogo integrala vvel Vol'terra v 1887 g. V differencial'noj geometrii ego vpervye primenil Shlezinger, vvedya ponyatie krivolinejnogo mul'tiplikativnogo integrala. Pozdnee byla zamechena estestvennaya svyaz' mul'tiplikativnogo integrirovaniya s zadachami geometricheskogo soderzhaniya. S teoriej mul'tiplikatianogo integrala tesno svyazany problemy teorii upravleniya, otrazhajushhie differncial'no-geometricheskie i teoretiko-gruppovye svojstva potokov, opredelyaemyh nestacionarnymi vektornymi polyami. Tehnika mul'tiplikativnogo integrirovaniya nahodit primeneniya v fizike, teorii veroyatnostej, teorii nelinejnyh differencial'nyh uravnenij nulevoj krivizny. Obshhaya dlya jetih prilozhenij mul'tiplikativnaya tochka zreniya chasto podskazyvaet puti reshenij konkretnyh prikladnyh zadach.